Upozornění: Dal jsem předběžný přístup k interní beta verzi Grok 4.20 Našla novou funkci Bellman pro jeden z problémů, na kterých jsem pracoval se svým studentem N. Alpayem. Problém se redukuje na identifikaci bodové maximální funkce U(p,q) za dvou podmínek a pochopení chování U(p,0). V našem článku jsme dokázali U(p,0)\geq I(p), kde I(p) je Gaussovský izoperimetrický profil, I(p) ~ p\sqrt{log(1/p)} jako p ~ 0. Po ~5 minutách Grok 4.20 vyprodukoval explicitní vzorec U(p,q) = E \sqrt{q^2+\tau}, kde \tau je čas výstupu Brownova pohybu z (0,1) začínajícího v p. To dává U(p,0)=E\sqrt{\tau} ~ p log(1/p) při p ~ 0, což je zlepšení logaritmického faktoru o druhou odmocninu. Má tento výsledek nějaký význam? Neřekne ti, jak změnit svět zítra. Spíše to dává malý krok k pochopení, co se děje s průměry stochastických analogů derivací (kvadratické variace) Booleových funkcí: jak malé mohou být?  Přesněji řečeno, to dává ostrou dolní mez na L1 normě dyadické čtvercové funkce aplikované na indikační funkce 1_A množin A \podmnožiny [0,1]. V mém předchozím tweetu o funkci Takagi jsme viděli, že ostrá dolní hranice ||S_1(1_A)||_1 zázračně souhlasí s Takagiho funkcí |A| která (překvapivě pro mě) souvisí s Riemannovou hypotézou. Zde získáme ostrou dolní mez na ||S_2(1_A)||_1 dáno E \sqrt{\tau}, kde Brownův pohyb začíná v |A|. Tato funkce patří do rodiny izoperimetrických profilů, ale na rozdíl od fraktální Takagiho funkce je hladká a neshoduje se s Gaussovým izoperimetrickým profilem. Nakonec je v harmonické analýze známo, že čtvercová funkce není omezena v L^1. Otázka zde byla spíše o zvědavosti: jak přesně se to rozšíří, když se testuje na Booleovských funkcích 1_A.  Dříve byla nejznámější dolní mez |A|(1-|A|) (Burkholder—Davis—Gandy). V našem článku jsme získali |A| (1-|A|)\sqrt{log(1/(|A|(1-|A|)))}. Tato nová Grokova Bellmanova funkce dává |A| (1-|A|) \log(1/(|A|(1-|A|))) A tato hranice je vlastně ostrá.