免責聲明：我已經給予內部測試版 Grok 4.20 的早期訪問權限。 它為我和我的學生 N. Alpay 一直在研究的問題找到了新的 Bellman 函數。 這個問題簡化為在兩個約束下識別逐點最大函數 U(p,q) 並理解 U(p,0) 的行為。 在我們的論文中，我們證明了 U(p,0)\geq I(p)，其中 I(p) 是高斯等周剖面，I(p) ~ p\sqrt{log(1/p)} 當 p ~ 0。 大約 5 分鐘後，Grok 4.20 產生了一個明確的公式 U(p,q) = E \sqrt{q^2+\tau}，其中 \tau 是從 (0,1) 開始的布朗運動的退出時間，起始於 p。這導致 U(p,0)=E\sqrt{\tau} ~ p log(1/p) 當 p ~ 0，這在對數因子上有平方根的改進。 這個結果有什麼意義？它不會告訴你如何在明天改變世界。相反，它為理解隨機類似於導數的平均值（平方變化）提供了一小步：它們可以有多小？ 更精確地說，這為應用於指示函數 1_A 的二元平方函數的 L1 範數提供了一個尖銳的下界，這些集合 A \subset [0,1]。 在我之前關於 Takagi 函數的推文中，我們看到 ||S_1(1_A)||_1 的尖銳下界奇妙地與 |A| 的 Takagi 函數重合，這（對我來說驚訝）與黎曼假設有關。在這裡，我們獲得了 ||S_2(1_A)||_1 的尖銳下界，由 E \sqrt{\tau} 給出，其中布朗運動從 |A| 開始。這個函數屬於等周類型剖面的家族，但與分形的 Takagi 函數不同，它是光滑的，並且不與高斯等周剖面重合。 最後，在調和分析中，已知平方函數在 L^1 中是不受限的。這裡的問題更多是出於好奇：當在布爾函數 1_A 上進行測試時，它究竟是如何爆炸的。之前，已知的最佳下界是 |A|(1-|A|)（Burkholder—Davis—Gandy）。在我們的論文中，我們獲得了 |A| (1-|A|)\sqrt{log(1/(|A|(1-|A|)))}。這個新的 Grok 的 Bellman 函數給出了 |A| (1-|A|) \log(1/(|A|(1-|A|)))，而這個界限實際上是尖銳的。