Ansvarsfraskrivelse: Jeg hadde gitt tidlig tilgang til intern betaversjon av Grok 4.20 Den fant en ny Bellman-funksjon for en av oppgavene jeg hadde jobbet med sammen med studenten min N. Alpay. Problemet reduseres til å identifisere den punktvise maksimale funksjonen U(p,q) under to betingelser og forstå oppførselen til U(p,0). I artikkelen vår beviste vi U(p,0)\geq I(p), hvor I(p) er den gaussiske isoperimetriske profilen, I(p) ~ p\sqrt{log(1/p)} som p ~ 0. Etter ~5 minutter produserte Grok 4.20 en eksplisitt formel U(p,q) = E \sqrt{q^2+\tau}, hvor \tau er utgangstiden for Brownsk bevegelse fra (0,1) som starter ved p. Dette gir U(p,0)=E\sqrt{\tau} ~ p log(1/p) ved p ~ 0, en kvadratrotforbedring i den logaritmiske faktoren. Har dette resultatet noen betydning? Den vil ikke fortelle deg hvordan du kan forandre verden i morgen. Snarere gir det et lite steg mot å forstå hva som skjer med gjennomsnitt av stokastiske analoger av deriverte (kvadratisk variasjon) av boolske funksjoner: hvor små kan de være?  Mer presist gir dette en skarp nedre grense for L1-normen til den dyadiske kvadratfunksjonen anvendt på indikatorfunksjoner 1_A av mengder A \delmengde [0,1]. I min forrige tweet om Takagi-funksjonen så vi at den skarpe nedre grensen på ||S_1(1_A)||_1 sammenfaller mirakuløst med Takagi-funksjonen til |A| som (overraskende nok for meg) er relatert til Riemann-hypotesen. Her får vi en skarp nedre grense på ||S_2(1_A)||_1 gitt ved E \sqrt{\tau}, hvor Brownsk bevegelse starter ved |A|. Denne funksjonen tilhører familien av isoperimetriske profiler, men i motsetning til den fraktale Takagi-funksjonen er den glatt og sammenfaller ikke med den Gaussiske isoperimetriske profilen. Til slutt er det kjent i harmonisk analyse at kvadratfunksjonen ikke er begrenset i L^1. Spørsmålet her handlet mer om nysgjerrighet: hvordan eksploderer det egentlig når det testes på boolske funksjoner 1_A.  Tidligere var den best kjente nedre grensen |A|(1-|A|) (Burkholder—Davis—Gandy). I vår artikkel fikk vi |A| (1-|A|)\sqrt{log(1/(|A|(1-|A|)))}. Denne nye Groks Bellman-funksjonen gir |A| (1-|A|) \log(1/(|A|(1-|A|))) Og denne grensen er faktisk skarp.