Aviso: Eu tinha dado acesso antecipado à versão beta interna do Grok 4.20 Ele encontrou uma nova função de Bellman para um dos problemas em que eu estava trabalhando com meu aluno N. Alpay. O problema se reduz a identificar a função máxima pontual U(p,q) sob duas restrições e entender o comportamento de U(p,0). No nosso artigo, provamos que U(p,0)\geq I(p), onde I(p) é o perfil isoperimétrico gaussiano, I(p) ~ p\sqrt{log(1/p)} quando p ~ 0. Após ~5 minutos, o Grok 4.20 produziu uma fórmula explícita U(p,q) = E \sqrt{q^2+\tau}, onde \tau é o tempo de saída do movimento browniano de (0,1) começando em p. Isso resulta em U(p,0)=E\sqrt{\tau} ~ p log(1/p) quando p ~ 0, uma melhoria de raiz quadrada no fator logarítmico. Alguma importância desse resultado? Não vai te dizer como mudar o mundo amanhã. Em vez disso, dá um pequeno passo em direção à compreensão do que está acontecendo com as médias dos análogos estocásticos das derivadas (variação quadrática) de funções booleanas: quão pequenas podem ser? Mais precisamente, isso dá um limite inferior afiado na norma L1 da função quadrática diádica aplicada a funções indicadoras 1_A de conjuntos A \subset [0,1]. No meu tweet anterior sobre a função de Takagi, vimos que o limite inferior afiado em ||S_1(1_A)||_1 coincide milagrosamente com a função de Takagi de |A| que (surpreendentemente para mim) está relacionada à hipótese de Riemann. Aqui, obtemos um limite inferior afiado em ||S_2(1_A)||_1 dado por E \sqrt{\tau}, onde o movimento browniano começa em |A|. Esta função pertence à família de perfis do tipo isoperimétrico, mas ao contrário da função fractal de Takagi, é suave e não coincide com o perfil isoperimétrico gaussiano. Finalmente, na análise harmônica, é sabido que a função quadrática não é limitada em L^1. A questão aqui era mais sobre curiosidade: como exatamente ela explode quando testada em funções booleanas 1_A. Anteriormente, o melhor limite inferior conhecido era |A|(1-|A|) (Burkholder—Davis—Gandy). No nosso artigo, obtivemos |A| (1-|A|)\sqrt{log(1/(|A|(1-|A|)))}. Esta nova função de Bellman do Grok dá |A| (1-|A|) \log(1/(|A|(1-|A|))) e este limite é realmente afiado.